(a proč je postup důležitější než číslo)

Často se setkáváme s tvrzením: „Ale mně to vyšlo správně.“

Na první pohled zní rozumně.
V matematice – a zvlášť v technických oborech – je ale tato věta nedostatečná.

Matematika není o trefování čísel.
Je o porozumění vztahům mezi veličinami.

Proč se v tomto článku mluví o dvojité trojčlence

Možná si říkáš, proč se v článku objevuje pojem dvojitá trojčlenka, který si mnozí pamatují jen ze školy – nebo vůbec.

Důvod je jednoduchý:
dvojitá trojčlenka je jeden z nejčistších modelů myšlení v praxi.

Nejde o školní látku jako takovou, ale o princip:

  • výsledek závisí současně na více veličinách,
  • je nutné správně určit jejich vztahy,
  • a teprve potom má výpočet smysl.

To je přesně stejný princip, který funguje:

  • v technice,
  • ve fyzice,
  • v programování,
  • i při práci s daty nebo umělou inteligencí.

Co je dvojitá trojčlenka (velmi zjednodušeně)

Jde o úlohu, kde se výsledek mění podle dvou různých veličin – například:

  • počtu strojů,
  • a času práce.

Klíčové ale není počítání.
Klíčové je správně pochopit, jak spolu tyto veličiny souvisejí:

  • roste-li jedna, roste výsledek?
  • nebo naopak klesá?

Teprve na tom stojí celý výpočet.

Jedno zadání, jeden výsledek – dva různé postupy

Zadání

6 strojů vyrobí za 8 hodin 960 součástek.
Kolik součástek vyrobí 10 strojů za 12 hodin,
pokud se výkon strojů nezmění?

✔️ Správný postup (logicky i matematicky)

Určení vztahů

  • více strojů → více výrobků
    přímá závislost
  • delší čas → více výrobků
    přímá závislost

Obě veličiny tedy zvyšují výsledek.

Výpočet

960⋅106⋅128960 \cdot \frac{10}{6} \cdot \frac{12}{8}=960⋅53⋅32=960⋅52=2400= 960 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = 960 \cdot \frac{5}{2} = 2400

Výsledek:2400 soucˇaˊstek\boxed{2400\ \text{součástek}}

Tento postup:

  • odpovídá realitě,
  • je přenositelný,
  • funguje obecně.

❌ Chybný postup (jiné zlomky, stejný výsledek)

Někteří žáci použijí jiné zlomky, které sice číselně vyjdou,
ale nedávají smysl z hlediska vztahů mezi veličinami:960⋅108⋅126960 \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{12}{6}​

Výpočet

108=54,126=2\frac{10}{8} = \frac{5}{4}, \quad \frac{12}{6} = 2 960⋅54⋅2=960⋅104=960⋅52=2400960 \cdot \frac{5}{4} \cdot 2 = 960 \cdot \frac{10}{4} = 960 \cdot \frac{5}{2} = 2400

Výsledek je stejný.

Proč je tento postup špatně, i když „to vyjde“

  • zlomky nesrovnávají stejnou veličinu
    (počet strojů se porovnává s časem),
  • vztahy mezi veličinami nedávají smysl,
  • výsledek vznikl náhodnou shodou čísel, ne porozuměním.

Matematika nepracuje s náhodným párováním čísel.
Každý zlomek musí vyjadřovat vztah téže veličiny.

Takový postup by při mírné změně zadání okamžitě selhal.

Proč za takové řešení nelze dát bod

Bod v matematice není odměna za výsledek.
Bod je důkaz, že řešitel pochopil princip.

Pokud někdo:

  • neurčil správně vztahy,
  • míchá nesouvisející veličiny,
  • a ke správnému číslu se dostal náhodou,

pak neprokázal dovednost, kterou úloha testovala.

Správný výsledek bez správného postupu není znalost.
Je to náhoda.

A náhoda se v matematice nehodnotí.

Souvislost s fyzikou: Ohmův zákon

Stejná logika platí například u vztahu:I=URI = \frac{U}{R}​

  • proud je přímo závislý na napětí
  • proud je nepřímo závislý na odporu

Nikdo by netvrdil, že lze napětí a odpor libovolně „prohodit“
jen proto, že číslo náhodou vyjde.

Nejde o školu. Jde o myšlení.

Tento článek není obhajobou přísného známkování.
Je obhajobou myšlení založeného na porozumění.

To, co se zde ukazuje na jednoduchém matematickém příkladu,
platí všude tam, kde rozhodují vztahy:

  • v technice,
  • v datech,
  • v programování,
  • i při práci s umělou inteligencí.

Shrnutí

V matematice nestačí, že to vyjde.
Musí to vyjít správně – ze správných důvodů.

Dvojitá trojčlenka zde není školní látkou,
ale modelem situace, kde se jasně ukazuje rozdíl
mezi náhodou a porozuměním.

A právě na tom je postaven přístup EDUvia4X.